2010年全国数学竞赛初三决赛试题及答案 - 初中九年级数学竞赛试题

时间:2019-01-11分类:数学

2010年全国数学竞赛初三决赛试题及答案

拜托,只有5点积分,加点分啦~!我找了很久才找到的。我也是3月20号要考,抓紧复习吧! 2010年全国初中数学竞赛复赛试题及参考答案(广东)一、选择题(5×7=35)1、已知3m-1 和m-7是数  p的平方根,则p的值为(   )A,100   B,25   C.10或5   D.  100或252、若,,则的值为(    )A.      B    C       D  3、一列武广高速列车和一列普通列车的车身长分别为400米和600米,它们相向匀速行驶在平行的轨道上,若坐在高速列车上的乘客看见普通列车驶过窗口的时间是3秒,则坐在普通列车上的乘客看见高速列车驶过窗口的时间是(    )A  2秒   B  3秒   C  4秒   D  4.5秒4、如图,一个半径为3的圆O1经过一个半径为3的圆O2的圆心,则图中阴影部分的面积为(   )A    B  9   C     D  5、若实数a、b满足,则a的取值范围是(   )A a≤-2   B a≥4   C a≤-2或a≥4   D -2≤a≤4二、填空题(5×7=35)6、若干名同学制作迎国庆卡通图片,他们制作的卡通图片张数的条形统计图如图所示,设他们制作的卡通图片张数的平均数为a ,中位数为b,众数为c,则a 、b、c的大小关系为                             7、一副三角板如图所示叠放在一起,则如中∠BDF的度数是           8、已知关于x 的方程有一个根为-1,设这个方程另一个根为m,则的值为             。9、如图,将一张边长分别为4和2的矩形纸片ABCD折叠,使点C与点A重合,则折痕EF的长为               交于点E,且DE∥BC,已知AE=,AE=,BC=6,则圆O的半径是             三、解答题(其中11——14小题每题15分,第15题20分,共80分)11、如图,在平面直角坐标系xOy中,正方形ABCD的中点为坐标原点,顶点A的坐标为A(1,1), y轴上一点P(0,2)绕点A旋转180°得到点P1,点P1绕点B旋转180°得到点P2,点P2绕点C旋转180°得点P3,点P3绕点D旋转180°得点P4,……。重复操作依次得到点P1,P2,P3,……(1)、求点P1、P2、P3的坐标;(2)、求点P2010的坐标。12、一辆货车、一辆客车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶,在某一时刻,货车在前。小轿车在后,客车在货车与小轿车的中间,过了10分钟,小轿车追上了客车;又过了5分钟,小轿车追上了货车;再过t分钟,客车追上了货车,求t的值.13、如图,在平面直角坐标系xOY中,多边形OABCDE的顶点坐标分别是O(0,0),A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).若直线l经过点M(2,3),且将多边形OABCDE分割成面积相等的两部分,求直线l的函数表达式。14、如图,谢线AM,BN都垂直于线段AB,点E为AM上一点,过点A作BE的垂线AC分别交BE、BN于点F、C,过顶C作品AM的垂线CD,垂足为D。若CD=CF,求的值。15、如图,抛物线(a>0)与双曲线相交于点A,B,已知点A 的坐标为(1,4),点B在第三象限内,且△AOB的面积为3(O为原点)。(1)、求实数a、b、k的值;(21)、过抛物线上点A作直线AC∥x轴,交抛物线于另一点C,求所有满足△EOC∽△AOB的点E的坐标。参考答案1、D、3m-1和m-7 是数p的平方根,则3m-1=m-7或3m-1+m-7=0   m=–3  或m=2当m=-3时,3m-1=-10 p=100当m=2时,3m-1=5 p=252、D、a=20b,b=10c   a=200c3、A、设高速列车和普通列车的车速分别为x米8秒、y米/秒,则x+y=600÷3=200(米/秒) 所以坐在普通列车上的乘客看见高速列车驶过窗口的时间是:400÷200=2(秒)4、C、连结O1O2,O1A,O1B,O2A,O2BO1O2=O1A=3,O2A=∠O2O1A=90°同理∠O2O1B=90°∴点A、O1、B在同一条直线上,并且∠AO2B=90°AB是圆O1的直径∴S阴影=S⊙1-S弓形AO1B=S⊙1-(S扇形AO2B-S△AO2B)==95、C、方程变形为:,b为实数△=≥0  化简得≥0(a-4)(a+2) ≥0    ∴a≥4或a≤-26、b>a>c共有4+3+3=10名同学制作图片,制作的张数为4,4,4,4,4,5,5,5,6,6,6平均数a==4.9,  中位数b=5,众数c =47、 75°∠ABC=45°∠DEF=30°  ∴∠BDE=∠ABC-∠DEF=15°∴∠BDF=∠EDF-∠BDE=90°-15°=75°8、±  根据根与系数的关系可得:-1+m=    -1+m=-1∴m=1,a=±   ∴9、 C与A重合 EF是AC的垂直平分线CG=可证:△CFG≌△AEG   FG=EG=可证:△CFG∽△CAD  FG:AD=CG:CD  FG:2=:4FG=    ∴EF=10、  延长AC交⊙O于点F,连结DF∵DE∥BC  ∴∠DEF=180°-∠ACB=90°∴DF是⊙O的直径     ∵AB==DE∥BC  DE:BC=AD:AB=AE:AC  DE:6=AD: = ∴DE=4,AD=∵AD是切线  ∴  ∴AF=∴DF=⊙O的半径R=11、(1)连结PA并延长交x轴于点M,则直线PA的解析式是:y=-x+2  点M的坐标是M(2,0)同时MA=PA=  说明点A是PM的中点 即点M是点P绕点A旋转180°得到点M就是点P1P1(2,0) 同样:P2(0,-2)  P3(-2,0)(2)重复操作依次是:P4=P8=P,P5=P9=P1,P5=P10=P2,P7=P11=P32010=4×502+2P2010=P2    P2010(0,-2)12、设在某一时刻,货车与客车、小轿车的距离均为S千米,小轿车、货车、客车的速度分别为a、b、c(千米/分),并设货车经x分钟追上客车,由题意可得: 10(a-b)=S  (1)    15(a-c)=2S  (2)    x(b-c)=S有(1)(2)得 30(b-c)=S     ∴S=30t =30-10-5=15(分) 13、如图,延长BC交x轴于点F,连结OB,DF,且相交于点N有已知得点M(2,3)是OB、AF的中点,即点M为矩形ABFO的中心,所以直线l把矩形ABFO分成面积相等的两部分又因为点N(5,2)是矩形CDEF的中心,所以过点N(5,2)的直线把矩形CDEF分成面积相等的两部分。于是,直线MN即为所求的直线L设直线l的解析式为y=kx+b   则2k+b=3  5k+b=2K=   b= 因此所求直线l的函数表达式是:14、如图,设CF=m,AF=n易证:RT△AFB∽RT△ABC∴又FC=CD=AB=n     即   ∴或(舍去) 又RT△AFE∽RT△CFB   即15、解:(1)因为点A(1,4)在双曲线上,所以k=4. 故双曲线的函数表达式为.设点B(t,),,AB所在直线的函数表达式为,则有    解得,.于是,直线AB与y轴的交点坐标为,故,整理得,解得,或t=(舍去).所以点B的坐标为(,).因为点A,B都在抛物线(a0)上,所以 解得   …………(10分)(2)如图,因为AC∥x轴,所以C(,4),于是CO=4. 又BO=2,所以.设抛物线(a0)与x轴负半轴相交于点D, 则点D的坐标为(,0).因为∠COD=∠BOD=,所以∠COB=.(i)将△绕点O顺时针旋转,得到△.这时,点(,2)是CO的中点,点的坐标为(4,).延长到点,使得=,这时点(8,)是符合条件的点.(ii)作△关于x轴的对称图形△,得到点(1,);延长到点,使得=,这时点E2(2,)是符合条件的点.所以,点的坐标是(8,),或(2,).         …………(20分)

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2008年河南省初三数学竞赛试题答案

2008年全国初中数学竞赛试题(天津赛区)参考答案及评分标准

说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.

第一试

一、选择题(本题满分42分,每小题7分)

本题共有6小题,每题均给出了代号为 的四个答案,其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分;不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分.

1.设 , ,且 ,则代数式 的值为 ( )

5. 7. 9. 11.

【答】 .

解 由题设条件可知 , ,且 ,所以 是一元二次方程 的两根,故 , ,因此 . 故选 .

2.如图,设 , , 为三角形 的三条高,若 , , ,则线段 的长为 ( )

. 4. . .

【答】 .

解 根据勾股定理,有 AB =AE +BE ①,BC =BE +EC ②,用①-②,得到AB -BC =AE -EC =(AE-EC)•(AE+CE),所以AE+CE=(6 -5 )÷ =5,从而解得AE= ,CE= ,这样BE= . 故选 .

3.从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中任意取出两张,把第一张卡片上的数字作为十位数字,第二张卡片上的数字作为个位数字,组成一个两位数,则所组成的数是3的倍数的概率是 ( )

. . . .

【答】 .

解 能够组成的两位数有12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54,共20个,其中是3的倍数的数为12,15,21,24,42,45,51,54,共8个.

所以所组成的数是3的倍数的概率是 . 故选 .

4.在△ 中, , , 和 分别是这两个角的外角平分线,且点 分别在直线 和直线 上,则 ( )

. .

. 和 的大小关系不确定.

【答】 .

解 ∵ , 为 的外角平分线,∴ .

又 ,∴ ,

∴ .

又 ,

∴ . 因此, .故选 .

5.现有价格相同的5种不同商品,从今天开始每天分别降价10%或20%,若干天后,这5种商品的价格互不相同,设最高价格和最低价格的比值为 ,则 的最小值为 ( )

. . . .

【答】 .

解 容易知道,4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况.

设5种商品降价前的价格为 ,过了 天. 天后每种商品的价格一定可以表示为

,其中 为自然数,且 .

要使 的值最小,五种商品的价格应该分别为: , ,

, , ,其中 为不超过 的自然数.

所以 的最小值为 . 故选 .

6. 已知实数 满足 ,则 的值为 ( )

. 2008. . 1.

【答】 .

解 ∵ ,

∴ ,

由以上两式可得 . 所以 ,解得 ,所以

. 故选 .

二、填空题(本题满分28分,每小题7分)

1.设 ,则 .

解 ∵ ,∴ ,

.

2.如图,正方形 的边长为1, 为 所在直线上的两点,且 , ,则四边形 的面积为

解 设正方形 的中心为 ,连 ,则 , ,

, ∴ .

又 ,

所以△ ∽△ ,故 ,从而 .

根据对称性可知,四边形 的面积

.

3.已知一次函数 ( 为整数且 ≠1)的图象与 轴、y轴的交点分别为A、B,且△OAB的面积是正整数,则 = 2 .

解 不难求得A、B两点的坐标分别为(- ,0),(0,a),故

• • =

注意到 、a均为整数,故 为整数,于是a-1=1或-1,即a=2或0.将此两值分别代入可知a=0时, =0应舍去;a=2时, =2满足题设.故a=2.

4.依次将正整数1,2,3,…的平方数排成一串:149162536496481100121144…,排在第1个位置的数字是1,排在第5个位置的数字是6,排在第10个位置的数字是4,排在第2008个位置的数字是 1 .

解 到 ,结果都只各占1个数位,共占 个数位;

到 ,结果都只各占2个数位,共占 个数位;

到 ,结果都只各占3个数位,共占 个数位;

到 ,结果都只各占4个数位,共占 个数位;

到 ,结果都只各占5个数位,共占 个数位;

此时还差 个数位.

到 ,结果都只各占6个数位,共占 个数位.

所以,排在第2008个位置的数字恰好应该是 的个位数字,即为1.

第二试 (A)

一.(本题满分20分) 已知实数 、 、 、 使得方程

对一切实数 均成立,那么当代数式

取到最小值时, + + + 的值为多少?

解 化简原方程,得到:

因为此方程对一切实数x均成立,故得到:

b-a=c+d ①

-ab-24=cd ② ……………… 5分

而① -②×2,则有:

a +b +48=c +d ③ ……………… 10分

将①、②、③式代入所求代数式中,有:

原式=a +b +a +b +48-24-4a-4b+8(b-a)+10

=2a +2b -12a+4b+34

=2(a-3) +2(b+1) +14 ……………… 15分

故在a-3=0,b+1=0,即a=3,b=-1时,该式取到最小值14,此时c+d=-1-3=-4,于是

a+b+c+d=3+(-1)+(-4)=-2 ……………… 20分

二.(本题满分25分) △ABC中,∠B=90°,M为AB上一点,使得AM=BC,N为BC上一点,使得CN=BM,连AN、CM交于P点。试求∠APM的度数,并写出你的推理证明的过程。

解 的度数为45 . ……………… 5分

证明过程如下:过点M作AB的垂线MD,使MD=CN,连接DA、DN,于是

因为 MD‖CN且MD=CN,所以四边形MDNC是平行四边形 …… 10分

从而 ,又因为CN=BM,得到DM=BM,进而在△DMA与△MBC中,

所以△DMA≌△MBC …………………… 15分

这样DA=MC,而MC=DN,所以DN=DA. 又因为∠ADN=∠ADM+∠MDN=∠ADM+∠MCN=∠ADM+∠DAM=90 ,所以得到△ADN是一个等腰直角三角形. …………………… 20分

所以∠AND=45 ,利用MC‖DN,从而得到∠APM=∠AND=45 …………………… 25分

三.(本题满分25分)设 为质数, 为正整数,且

(1)

求 , 的值.

解 (1)式即 ,设 ,则

(2)

故 ,又 ,所以 (3) ……………………5分

由(1)式可知, 能被509整除,而509是质数,于是 能被509整除,故 为整数,即关于 的一元二次方程(3)有整数根,所以它的判别式 为完全平方数.………………10分

不妨设 ( 为自然数),则 .

由于 和 的奇偶性相同,且 ,所以只可能有以下几种情况:

① 两式相加,得 ,没有整数解.

② 两式相加,得 ,没有整数解.

③ 两式相加,得 ,没有整数解.

④ 两式相加,得 ,没有整数解.

⑤ 两式相加,得 ,解得 .

⑥ 两式相加,得 ,解得 ,而 不是质数,故舍去.

综合可知 . …………………………………20分

此时方程(3)的解为 或 (舍去).

把 , 代入(2)式,得 .…………………………………25分

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