世界十大数学难题有哪些 - 世界数学几何难题大全

时间:2019-01-11分类:数学

世界十大数学难题有哪些

难题”之一:P(多项式算法)问题对NP(非多项式算法)问题

难题”之二: 霍奇(Hodge)猜想

难题”之三: 庞加莱(Poincare)猜想

难题”之四: 黎曼(Riemann)假设

难题”之五: 杨-米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口

难题”之六: 纳维叶-斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性

难题”之七: 贝赫(Birch)和斯维讷通-戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想

难题”之八:几何尺规作图问题

难题”之九:哥德巴赫猜想

难题”之十:四色猜想

数学界三大几何难题是什么

21世纪数学七大难题

最近美国麻州的克雷(Clay)数学研究所于2000年5月24日在巴黎法兰西学院宣

布了一件被媒体炒得火热的大事:对七个“千僖年数学难题”的每一个悬赏一百万美元。以

下是这七个难题的简单介绍。

“千僖难题”之一:P(多项式算法)问题对NP(非多项式算法)问题

在一个周六的晚上,你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安,你想知道这一大厅

中是否有你已经认识的人。你的主人向你提议说,你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女

士罗丝。不费一秒钟,你就能向那里扫视,并且发现你的主人是正确的。然而,如果没有这

样的暗示,你就必须环顾整个大厅,一个个地审视每一个人,看是否有你认识的人。生成问

题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与

此类似的是,如果某人告诉你,数13,717,421可以写成两个较小的数的乘积,你

可能不知道是否应该相信他,但是如果他告诉你它可以因子分解为3607乘上3803,

那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。不管我们编写程序是否灵巧,判定一个

答案是可以很快利用内部知识来验证,还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解,被

看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克(StephenCook

)于1971年陈述的。

“千僖难题”之二: 霍奇(Hodge)猜想

二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样

的程度上,我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来

形成。这种技巧是变得如此有用,使得它可以用许多不同的方式来推广;最终导至一些强有

力的工具,使数学家在对他们研究中所遇到的形形色色的对象进行分类时取得巨大的进展。

不幸的是,在这一推广中,程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下,必须加上某些

没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言,对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来

说,称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。

“千僖难题”之三: 庞加莱(Poincare)猜想

如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带,那么我们可以既不扯断它,也不让它离开表

面,使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面,如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸

缩在一个轮胎面上,那么不扯断橡皮带或者轮胎面,是没有办法把它收缩到一点的。我们说

,苹果表面是“单连通的”,而轮胎面不是。大约在一百年以前,庞加莱已经知道,二维球

面本质上可由单连通性来刻画,他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体

)的对应问题。这个问题立即变得无比困难,从那时起,数学家们就在为此奋斗。

“千僖难题”之四: 黎曼(Riemann)假设

有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质,例如,2,3,5,7,等等。这样的

数称为素数;它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中,这种素数的分布

并不遵循任何有规则的模式;然而,德国数学家黎曼(1826~1866)观察到,素数的频率紧密

相关于一个精心构造的所谓黎曼蔡塔函数z(s$的性态。著名的黎曼假设断言,方程z(s)=0的

所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它

对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

“千僖难题”之五: 杨-米尔斯(Yang-Mills)存在性和质量缺口

量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大

约半个世纪以前,杨振宁和米尔斯发现,量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学

之间的令人注目的关系。基于杨-米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中

所履行的高能实验中得到证实:布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。尽管如

此,他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是,被大多数物理学

家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设,从来

没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引

进根本上的新观念。

“千僖难题”之六: 纳维叶-斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性与光滑性

起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船,湍急的气流跟随着我们的现代喷气

式飞机的飞行。数学家和物理学家深信,无论是微风还是湍流,都可以通过理解纳维叶-斯

托克斯方程的解,来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的,我们对它们的

理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展,使我们能解开隐藏在纳维叶-斯托

克斯方程中的奥秘。

“千僖难题”之七:贝赫(Birch)和斯维讷通-戴尔(Swinnerton-Dyer)猜想

数学家总是被诸如x^2+y^2=z^2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾

经对这一方程给出完全的解答,但是对于更为复杂的方程,这就变得极为困难。事实上,正

如马蒂雅谢维奇(Yu.V.Matiyasevich)指出,希尔伯特第十问题是不可解的,即,不存在一

般的方法来确定这样的方法是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时,贝赫和斯维讷

通-戴尔猜想认为,有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特

别是,这个有趣的猜想认为,如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解),相反,如果z(

1)不等于0,那么只存在有限多个这样的点

世界三大几何难题之一

古典难题的挑战——几何三大难题及其解决 位于欧洲南部的希腊,是著名的欧洲古国,几何学的故乡。这里的古人提出的三大几何难题,在科学史上留下了浓浓的一笔。这延续了两千多年才得到解决的世界性难题,也许是提出三大难题的古希腊人所不曾预料到的。 一.三大难题的提出 实际中存在着各种各样的几何形状,曲和直是最基本的图形特征。相应地,人类最早会画的基本几何图形就是直线和圆。画直线就得使用一个边缘平直的工具,画圆就得使用一端固定而另一端能旋转的工具,这就产生了直尺和圆规。 古希腊人说的直尺,指的是没有刻度的直尺。他们在大量的画图经历中感觉到,似乎只用直尺、圆规这两种作图工具就能画出各种满足要求的几何图形,因而,古希腊人就规定,作图时只能有限次地使用直尺和圆规这两种工具来进行,并称之为尺规作图法。 漫长的作图实践,按尺规作图的要求,人们作出了大量符合给定条件的图形,即便一些较为复杂的作图问题,独具匠心地经过有限步骤也能作出来。到了大约公元前6世纪到4世纪之间,古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三个作图问题。 1.三等分角问题:将任一个给定的角三等分。 2.立方倍积问题:求作一个正方体的棱长,使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍。 3.化圆为方问题:求作一个正方形,使它的面积和已知圆的面积相等。 这就是著名的古代几何作图三大难题,它们在《几何原本》问世之前就提出了,随着几何知识的传播,后来便广泛留传于世。 二.貌以简单其实难 从表面看来,这三个问题都很简单,它们的作图似乎该是可能的,因此,2000多年来从事几何三大难题的研究颇不乏人。也提出过各种各样的解决办法,例如阿基米德、帕普斯等人都发现过三等分角的好方法,解决立方倍积问题的勃洛特方法等等。可是,所有这些方法,不是不符合尺规作图法,便是近似解答,都不能算作问题的解决。 其间,数学家还把问题作种种转化,发现了许多与三大难题密切相关的一些问题,比如求等于圆周的线段、等分圆周、作圆内接正多边形等等。可是谁也想不出解决问题的办法。三大作图难题就这样绞尽了不少人的脑汁,无数人做了无数次的尝试,均无一人成功。后来有人悟及正面的结果既然无望,便转而从反面去怀疑这三个问题是不是根本就不能由尺规作出? 数学家开始考虑哪些图形是尺规作图法能作出来的,哪些不能?标准是什么?界限在哪里?可这依然是十分困难的问题。 三.高斯的发现 历史的车轮转到了17世纪。法国数学家笛卡尔创立解析几何,为判断尺规作图可能性提供了从代数上进行研究的手段,解决三大难题有了新的转机。 最先突破的是德国数学家高斯。他于1777年4月30日出生于不伦瑞克一个贫苦的家庭。他的祖父是农民,父亲是打短工的,母亲是泥瓦匠的女儿,都没受过学校教育。由于家境贫寒,冬天傍晚,为节约燃料和灯油,父亲总是吃过晚饭就要孩子睡觉。高斯爬上小阁楼偷偷点亮自制的芜菁小油灯,在微弱的灯光下读书。他幼年的聪慧博得一位公爵的喜爱,15岁时被公爵送进卡罗琳学院,1795年又来到哥庭根大学学习。由于高斯的勤奋,入学后第二年,他就按尺规作图法作出了正17边形。紧接着高斯又证明了一个尺规作图的重大定理:如果一个奇素数P是费尔马数,那么正P边形就可以用尺规作图法作出,否则不能作出。 由此可以断定,正3边、5边、17边形都能作出,而正7边、11边、13边形等都不能作出。 高斯一生不仅在数学方面做出了许多杰出的成绩,而且在物理学、天文学等方面也有重要贡献。他被人们赞誉为“数学王子”。高斯死后,按照他的遗愿,人们在他的墓碑上刻上一个正17边形,以纪念他少年时代杰出的数学发现。 四.最后的胜利 解析几何诞生之后,人们知道直线和圆,分别是一次方程和二次方程的轨迹。而求直线与直线、直线与圆、圆与圆的交点问题,从代数上看来不过是解一次方程或二次方程组的问题,最后的解是可以从方程的系数(已知量)经过有限次的加、减、乘、除和开平方求得。因此,一个几何量能否用直尺圆规作出的问题,等价于它能否由已知量经过加、减、乘、除、开方运算求得。这样一来,在解析几何和高斯等人已有经验的基础上,人们对尺规作图可能性问题,有了更深入的认识,从而得出结论:尺规作图法所能作出的线段或者点,只能是经过有限次加、减、乘、除及开平方(指正数开平方,并且取正值)所能作出的线段或者点。 标准有了,下来该是大胆探索、细心论证。谁能避过重重险滩将思维贯通起来,谁就是最后胜利者。1837年,23岁的万芝尔以他的睿智和毅力实现了自己的梦想,证明了立方倍积与三等分任意角不可能用尺规作图法解决,宣布了2000多年来,人类征服几何三大难题取得了重大胜利。 他的证明方法是这样的: 假设已知立方体的棱长为a,所求立方体的棱长为x,按立方倍积的要求应有x3=2a3的关系。所以立方倍积实际是求作满足方程x3-2a3=0的线 段X,但些方程无有理根,若令a=1,则要作长度为2的立方根的线段,但2的立方根超出了有理数加、减、乘、除、开方的运算范围,超出了尺规作图准则中所说的数量范围,所以它是不可能解的问题。 用类似地想法,他证明了三等分角也是不可能解的问题。实际上万芝尔还证明了一个被称为高斯——万芝尔定理:如果边数N可以写成如下形式N=2t·P1·P2……Pn,其中P1、P2、…Pn都是各不相同的形如22k+1的素数,则可用尺规等分圆周N份,且只有当N可以表成这种形式时,才可用尺规等分圆周N份。根据这一定理,任意角的三等分就不可能了。 1882年,德国数学家林德曼借助于eiπ=-1证明了π的超越性,从而解决了化圆为方的问题。假设圆的半径为r,正方形的边长为x,按化圆为方数代数方程的根,更不能用加减乘除开平方所表示,因而不可能用尺规法作图。 从此,古典几何的三大难题都有了答案。 2000多年来,一代接一代地攻克三大难题,有人不禁要问这值得吗?假如实际中真遇到要三等分角、立方倍积、化圆为方,只要行之有效,何苦一定用尺规作图法解决?其实,数学研究并非一定要实用,数学家对每一个未知之谜都要弄个清楚,道个明白,这种执著追求的拗劲正是科学的精神。更为重要的是,对三大难题的研究,反过来促进了数学的发展,出现了新的数学思想和方法,例如阿基米德、帕普斯发现的三等分角的方法,勃洛特用两块三角板解决立方倍积问题(这个我在上初中时曾经证明过,的确成立),等分圆周、作正多边形,高斯关于尺规作图标准的重大发现等等。每一次突破不仅是人类智慧的胜利,使数学园地争奇竞艳,而且有利于科学技术的发展。 特别值得提到的是,在三大几何难题获得解决的同时,法国数学家伽罗瓦从一般角度对不可能性问题进行研究,在1830年,19岁的伽罗瓦提出了解决这一类问题的系统理论和方法,从而创立了群论。群论是近世抽象代数的基础,它是许多实际问题的数学模型,应用极其广泛,而三大几何作图难题只不过是这种理论的推论、例题或习题。所以,一般认为三大难题的解决归功于伽罗瓦理论,可伽罗瓦理论是在他死后14年才发表的,直到1870年,伽罗瓦理论才得到第一次全面清楚的介绍。 回答者:tgw791013 - 高级经理 七级 1-20 11:00许多人都说是古希腊的[三大几何难题]不可能用[直尺和圆规经有限步骤解决],其实不然,就是个方法问题.因为任何人都不可能将所有的方法都试过. 我用没有刻度的直尺,严格按照[直尺圆规作图规则]解了古希腊的[三大几何难题],而且用{勾股定理}证明了[圆化方]和[倍立方]两个题.{因为[三分角]证明起来很繁琐,还是留给有兴趣者去证明吧.} 现在把作图方法,步骤和证明一起奉献出来,以便尊敬的朋友们,专家学者们一起来研究和判定. 哦,对了,这三个命题都应该是初中几何可以解决的.没有必要把它深奥化了. 只是想用正确的答案取代 旺策尔(Wantzel)和林得曼(Linderman)的不明智的错误答案 ! 参考资料: http://blog.163.com/[email protected]/editPhoto.do?photoId=_fks_C6VO3avejFz1kMbA-5GuOg2IcX2WaP5P