急求高二上学期文科数学典型例题及解析(有关不等式和直线 - 高二数学典型课例剖析

时间:2019-01-12分类:数学

急求高二上学期文科数学典型例题及解析(有关不等式和直线

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求50道高二数学典型题

不等式:1. 已知奇函数f(x)在区间(-∞,+∞)上是单调递减函数, ,,∈R且+>0, +>0, +>0.

试说明f()+f()+f()的值与0的关系. 解 由+>0,得>-. ∵f(x)在R上是单调减函数,∴f()<f(-). 又∵f(x)为奇函数,∴f()<-f(),∴f()+f()<0, 同理f()+f()<0,f()+f()<0, ∴f()+f()+f()<0.

2.(1)已知x>0,y>0,且+=1,求x+y的最小值; (2)已知x<,求函数y=4x-2+的最大值; (3)若x,y∈(0,+∞)且2x+8y-xy=0,求x+y的最小值. 解(1)∵x>0,y>0,+=1, ∴x+y=(x+y) =++10≥6+10=16. 当且仅当=时,上式等号成立, 又+=1,∴x=4,y=12时,(x+y)min=16. (2)∵x<,∴5-4x>0, ∴y=4x-2+=-+3≤-2+3=1, 当且仅当5-4x=,即x=1时,上式等号成立, 故当x=1时,ymax=1. (3)由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy,∴+=1, ∴x+y=(x+y)=10++ =10+2≥10+2×2×=18, 当且仅当=,即x=2y时取等号, 又2x+8y-xy=0,∴x=12,y=6, ∴当x=12,y=6时,x+y取最小值18.

5.某造纸厂拟建一座平面图形为矩形 且面积为162平方米的三级污水处理池,池的深度一定 (平面图如图所示),如果池四周围墙建造单价为400元/米, 中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为 80元/米2,水池所有墙的厚度忽略不计. (1)试设计污水处理池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价; (2)若由于地形限制,该池的长和宽都不能超过16米,试设计污水池的长和宽,使总造价最低,并求出最低总造价. 解 (1)设污水处理池的宽为x米,则长为米. 1分 则总造价f(x)=400×+248×2x+80×162 =1 296x++12 960 =1 296+12 960 3分 ≥1 296×2+12 960=38 880(元), 当且仅当x=(x>0), 即x=10时取等号. 5分

∴当长为16.2米,宽为10米时总造价最低,最低总造价为38 880元.

6.(1)已知0<x<,求x(4-3x)的最大值; (2)点(x,y)在直线x+2y=3上移动,求2x+4y的最小值. 解 (1)已知0<x<,∴0<3x<4. ∴x(4-3x)=(3x)(4-3x)≤= 当且仅当3x=4-3x,即x=时“=”成立. ∴当x=时,x(4-3x)的最大值为. (2)已知点(x,y)在直线x+2y=3上移动,所以x+2y=3. ∴2x+4y≥2=2=2=4. 当且仅当,即x=,y=时“=”成立. ∴当x=,y=时,2x+4y的最小值为4.

8. 解不等式≥(x2-9)-3x.? 解 原不等式可化为-x2+≥x2--3x,? 即2x2-3x-7≤0.? 解方程2x2-3x-7=0,得x=.? 所以原不等式的解集为?

9. 已知不等式(a∈R).? (1)解这个关于x的不等式;? (2)若x=-a时不等式成立,求a的取值范围.? 解 (1)原不等式等价于(ax-1)(x+1)>0.? ①当a=0时,由-(x+1)>0,得x<-1;? ②当a>0时,不等式化为(x+1)>0,? 解得x<-1或x>;? ③当a<0时,不等式化为(x+1)<0;? 若<-1,即-1<a<0,则<x<-1;? 若=-1,即a=-1,则不等式解集为空集;? 若>-1,即a<-1,则-1<x<.? 综上所述,? a<-1时,解集为;? a=-1时,原不等式无解;? -1<a<0时,解集为;? a=0时,解集为{x|x<-1};? a>0时,解集为.? (2)∵x=-a时不等式成立,? ∴即-a+1<0,?

∴a>1,即a的取值范围为a>1.

直线:已知实数x,y满足y=x2-2x+2 (-1≤x≤1). 试求:的最大值与最小值.

解 由的几何意义可知,它表示经过定点P(-2,-3)与曲线段AB上任一点(x,y)的直线的斜率k,如图可知:kPA≤k≤kPB, 由已知可得:A(1,1),B(-1,5), ∴≤k≤8, 故的最大值为8,最小值为.

13 (1)经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等; (2)经过点A(-1,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍. 解 (1)方法一 设直线l在x,y轴上的截距均为a, 若a=0,即l过点(0,0)和(3,2), ∴l的方程为y=x,即2x-3y=0. 若a≠0,则设l的方程为, ∵l过点(3,2),∴, ∴a=5,∴l的方程为x+y-5=0, 综上可知,直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0. 方法二 由题意知,所求直线的斜率k存在且k≠0, 设直线方程为y-2=k(x-3), 令y=0,得x=3-,令x=0,得y=2-3k, 由已知3-=2-3k,解得k=-1或k=, ∴直线l的方程为: y-2=-(x-3)或y-2=(x-3), 即x+y-5=0或2x-3y=0. (2)经过点A(-1,-3),倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍. (2)由已知:设直线y=3x的倾斜角为, 则所求直线的倾斜角为2. ∵tan=3,∴tan2==-. 又直线经过点A(-1,-3), 因此所求直线方程为y+3=-(x+1), 即3x+4y+15=0.

15:已知线段PQ两端点的坐标分别为(-1,1)、(2,2),若直线l:x+my+m=0与线段PQ有交点,求m的取值范围. 解 方法一 直线x+my+m=0恒过A(0,-1)点. kAP==-2,kAQ==, 则-≥或-≤-2, ∴-≤m≤且m≠0. 又∵m=0时直线x+my+m=0与线段PQ有交点, ∴所求m的取值范围是-≤m≤. 方法二 过P、Q两点的直线方程为 y-1=(x+1),即y=x+, 代入x+my+m=0, 整理,得x=-. 由已知-1≤-≤2, 解得-≤m≤.

16已知两点A(-1,2),B(m,3). (1)求直线AB的方程; (2)已知实数m∈,求直线AB的倾斜角的取值范围. 解 (1)当m=-1时,直线AB的方程为x=-1, 当m≠-1时,直线AB的方程为y-2=(x+1). (2)①当m=-1时,=; ②当m≠-1时,m+1∈, ∴k=∈(-∞,-〕∪, ∴∈. 综合①②知,直线AB的倾斜角∈.

17求直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程. 解 方法一 由 知直线l1与l的交点坐标为(-2,-1), ∴设直线l2的方程为y+1=k(x+2), 即kx-y+2k-1=0. 在直线l上任取一点(1,2), 由题设知点(1,2)到直线l1、l2的距离相等, 由点到直线的距离公式得 =, 解得k=(k=2舍去), ∴直线l2的方程为x-2y=0. 方法二 设所求直线上一点P(x,y), 则在直线l1上必存在一点P1(x0,y0)与点P关于直线l对称. 由题设:直线PP1与直线l垂直,且线段PP1的中点 P2在直线l上. ∴,变形得, 代入直线l1:y=2x+3,得x+1=2×(y-1)+3, 整理得x-2y=0.

所以所求直线方程为x-2y=0.

18两种大小不同的钢板可按下表截成A,B,C三种规格成品:? A规格 B规格 C规格

第一种钢板 2 1 1

第二种钢板 1 2 3

某建筑工地需A,B,C三种规格的成品分别为15,18,27块,问怎样截这两种钢板,可得所需三种规格成品,且所用钢板张数最小.? 解 设需要第一种钢板x张,第二种钢板y张,钢板总数为z张,z=x+y,? 约束条件为: 作出可行域如图所示:?

令z=0,作出基准直线l:y=-x,平行移动直线l发现在可行域内,经过直线x+3y=27和直线2x+y=15的交点A可使z取最小,由于都不是整数,而最优解(x,y)中,x,y必须都是整数,可行域内点A不是最优解;?

通过在可行域内画网格发现,经过可行域内的整点且与A点距离最近的直线是x+y=12,经过的整点是B(3,9)和C(4,8),它们都是最优解.? 答 要截得所需三种规格的钢板,且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种:? 第一种截法是截第一种钢板3张,第二种钢板9张;? 第二种截法是截第一种钢板4张,第二种钢板8张;? 两种方法都最少要截两种钢板共12张.

曲线 19如图所示,已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A、B是圆上两动点, 且满足∠APB=90°,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.? 解 设AB的中点为R,坐标为(x1,y1),Q点坐标为(x,y),? 则在Rt△ABP中, |AR|=|PR|,? 又因为R是弦AB的中点,依垂径定理有?

?Rt△OAR中,|AR|2=|AO|2-|OR|2=36-().? 又|AR|=|PR|=,? 所以有(x1-4)2+=36-().? 即-4x1-10=0.? 因为R为PQ的中点,? 所以x1=,y1=.? 代入方程-4x1-10=0,得? ·-10=0.? 整理得x2+y2=56.? 这就是Q点的轨迹方程.?

20. 已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆圆心M的轨迹方程.? 解 如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B,根据两圆外切的充要条件,得? |MC1|-|AC1|=|MA|,? |MC2|-|BC2|=|MB|.? 因为|MA|=|MB|,? 所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2.? 这表明动点M到两定点C2,C1的距离之差是常数2.

根据双曲线的定义,动点M的轨迹为双曲线的左支(点M到C2的距离大,到C1的距离小),这里a=1,c=3,则b2=8,设点M的坐标为(x,y),其轨迹方程为x2-=1 (x≤-1).

直线和圆

17.(13分)一直线过点且与两坐标轴围成的三角形面积是5,求此直线的方程。

18.(13分)一个圆经过点,和直线相切,并且圆心在直线上,求它的方程。

19.(13分)求经过直线和圆的交点,且面积最小的圆的方程。

20.(13分)已知两点,且点使,,成公差小于零的等差数列。

(1)点的轨迹是什么曲线?

(2)若点坐标为,记为与的夹角,求。

21.(12分)如图,圆和圆的半径都等于1,,过动点分别作圆、圆的切线(为切点),使得,试建立平面直角坐标系,并求动点的轨迹方程。

22.(12分)已知直线及圆,是否存在实数,使自发出的光线被直线反射后与圆相切于点,若存在,求出的值;若不存在,试说明理由。

答案

17.解:设直线方程为,则 或 ∴直线方程为或

18.解:设圆心为,则 ∴或9 ∴或 ∴圆的方程为或

19.解:可设圆的方程为 即 圆心为 显然,当圆心在交点弦即直线上时,圆的半径最小,从而面积最小 ∴ ∴所求圆的方程为

20.解:(1)设 ,则,, 即 公差小于0 ∴ 所以点的轨迹是以原点为圆心,为半径的圆的右半部分(不包括端点) (2) ∴ ∴ ∴

21.解:以所在直线为轴,中垂线为轴建立坐标系 则 设,则 即

22.解:假设存在这样的实数,则关于的对称点为 ∴反射线所在直线方程为 即 又反射线与圆相切 ∴ 整理得: ∴ ∴存在实数满足条件。 若曲线与有两个公共点,求实数的取值范围. 分析:将“曲线有两个公共点”转化为“方程有两个不同的解”,从而研究一元二次方程的解的个数问题.若将两条曲线的大致形状现出来,也许可能得到一些启发. 解法一:由得: ∵,∴, 即. 要使上述方程有两个相异的非负实根. 则有: 又∵ ∴解之得:. ∴所求实数的范围是. 解法二:的曲线是关于轴对称且顶点在原点的折线,而表示斜率为1且过点的直线,由下图可知,当时,折线的右支与直线不相交.所以两曲线只有一个交点,当时,直线与折线的两支都相交,所以两条直线有两个相异的交点. 说明:这类题较好的解法是解法二,即利用数形结合的方法来探求.若题设条件中“”改为呢,请自己探求.

椭圆: 过点作两条互相垂直的直线,,若交轴于,交轴于,求线段中点的轨迹方程. 解:连接,设,则,. ∵ ∴ 为直角三角形. 由直角三角形性质知 即

P为椭圆x的平方/a的平方+y的平方/b的平方=1上的一点,F1为它的一个焦点,求证:以PF1为直径的圆与以长轴为直径的圆相切 化简得的轨迹方程为

椭圆X^2/a^2+Y^2/b^2=1(a>b>0)的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上,且│PF1│=4/3,│PF2│=14/3,PF1⊥F1F2,求椭圆C的方程。

│PF1│+│PF2│=2a 所以2a=6 a=3 PF1⊥F1F2 所以(2C)^2 + (4/3)^2 = (14/3)^2 C^2=45/9 a^2=b^2+c^2 b^2=4

所以方程是 X^2/9 +Y^2/4=1

高二数学平面解析几何初步

直线L在y轴上截距为10,且原点到直线l的距离是8

所以直线与y轴夹角 |sinθ|=6/8=3/4

所以直线斜率可能为3/4或(-3/4)

直线与y轴的交点可能为(0,10)或(0,-10)

直线方程 3x-4y+40=0 3x+4y-40=0 3x-4y-40=0 3x+4y+40=0