高数反常积分题 - 高等数学反常积分试题

时间:2019-03-26分类:数学

高数反常积分题

积分上下限都暂时省略

原式=-∫sinxd[e^(-x)]

=-sinx*e^(-x) +∫e^(-x)*d(sinx)

前项代入上下限:

原式=-lim(b→正无穷)sinb*e^(-b) + sin0*e^(0)+ ∫cosx*e^(-x) dx

其中前项这个极限,|sinb|≤1,是有界量;而e^(-b)在b趋于正无穷时,显然极限为0,于是这个极限是由一个无穷小量乘上一个有界的量组成,根据“无穷小量乘以有界量极限为0”的性质,其极限值为0,故:

原式=-∫cosx*d[e^(-x)]

=-cosx*e^(-x) + ∫e^(-x)d(cosx)

前项代入上下限,可得:

原式=-lim(b→正无穷)cosb*e^(-b) + cos0*e^(0) -∫sinx*e^(-x)dx

显然,前项这个极限同样基于“无穷小量乘以有界量”的性质取0,于是:

原式=1-∫sinx*e^(-x)dx

右侧第二项显然就是原式要求的,移项后得:

2∫e^(-x)sinxdx=1

原式=∫e^(-x)sinxdx=1/2

一道高数题目3(简单反常积分题)

I=∫(-1~1) 1/[1+e^(1/x)]dx,令x=-t,则I=∫(-1~1) 1/[1+e^(-1/t)]dt=∫(-1~1) e^(1/t)1/[1+e^(1/t)]dt

所以,2I=∫(-1~1) 1/[1+e^(1/x)]dx+∫(-1~1) e^(1/x)/[1+e^(1/x)]dx=∫(-1~1) dx=2

所以,I=1

高等数学微积分的题目一个反常积分被积函数为e(r2)(e的负

Φ(x)=∫[e^(-t²/2)]/[√(2π)] dt (-∞,x)

而标准正态分布函数的积分区间取(-∞,+∞)时,函数值为1

即∫[e^(-t²/2)]/[√(2π)] dt (-∞,+∞) =1

又由函数对称性有

∫[e^(-t²/2)]/[√(2π)] dt (0,+∞) =1/2

∫[e^(-t²/2)]dt (0,+∞)=[√(2π)]/2

∫[e^(-t²/2)]dt (0,+∞)=√π/√2

两边同乘1/√2

∫[e^(-t²/2)]d(t/√2) (0,+∞)=√π/2

最后换元 令 r=t/√2

原式

=∫e^(-r²)dr (0,+∞)=√π/ 2