高三文科数学试卷及答案 - 高三数学模拟试题基础

时间:2019-03-26分类:数学

高三文科数学试卷及答案

高三数学导数运算

【同步教育信息】

一. 本周教学内容

导数运算

1. 幂函数 的导数公式 ( )

证明:

2. 常数函数的导数公式

证明:由

则 ,故

3. 导数的运算法则

如果 , 有导数 , ,则有

即两个函数的和或差的导数,等于这两函数的导数的和或差;常数与函数的积的导数,等于常数乘以函数的导数。

【典型例题】

[例1] 求下列函数的导数。

(1)

(2)

[

[例3] 已知函数 且函数 的图象关于原点对称,其图象在 处的切线为 ,试求 解析式。

解:由 关于原点对称则

上式对任意 都成立,则

又 的图象在 处的切线方程为 即

由 ,则

故 即 得

故所求解析式为

[例4] 已知抛物线 与直线 交于点M、N、P为抛物线上弧 上任意一点,求使 面积最大时的点P的坐标。

解:设P( , )是抛物线 上弧 上一点,由 ,则抛物线在点P的切线斜率为 。

当过P的切线平行于MN时,P到MN的距离为最大,而直线MN的斜率为

故 ,

于是点P的坐标为( , )

[例5] 设 , ,曲线 在点P( , )处切线的倾斜角的取值范围是 ,则P到曲线 对称轴距离的取值范围是( )

A. B. C. D.

解: ,由已知 ,即

则点P( , )到曲线 对称轴距离为 ,选B。

试题答案

1. 解:设切点坐标( , ) 则 或

2. 解:由

高三数学导数的应用(二) 最大值与最小值人教版

【同步教育信息】

一. 本周教学内容

导数的应用(二) 最大值与最小值

一般地,在闭区间 上连续的函数 在 上必有最大值与最小值;在开区间 内连续的函数 不一定有最大值与最小值,例如 在 内的图象连续,但无最大值和最小值。

设函数 在 上连续,在 内可导,求 在 上的最大值与最小值的步骤如下:

(1)求 在 内的极值;

(2)将 的各极值与 , 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。

【典型例题】

[例1] 求函数 在区间 上的最大值与最小值。

解: ,令 ,有

当 变化时, , 的变化情况如下表:

0

1

2 - 0 + 0 - 0 +

13 ↓ 4 ↑ 5 ↓ 4 ↑ 13

从上表可知,函数 在区间 上最大值为13,最小值为4,利用此表可画出函数的图象如下:

[例2] 已知 , 的最大值为3,最小值 ,求 、 的值。

解:依题意 ,否则 与已知矛盾。

令 解得 或

(1)当 时,由 解得

令 ,解得 ,列表如下:

0

2 + 0 -

↑ 极大

由 连续,则当 时, 有最大值,即 ,又由 ,则 为最小值,故

所以,当 时, ,

(2)当 时,列表如下:

0

2 - 0 +

↓ 极小 ↑

故 最小值为 , 最大值为

所以,当 时, ,

[例3] 已知两个函数 , ,其中

(1)对任意的 ,都有 成立,求 的取值范围。

(2)对任意的 , 都有 ,求 的取值范围。

解:

(1)设 ,则对任意的 ,都有 成立 , , ,令 ,则 或 ,列表如下:

2

3 + 0 - 0 +

↓ ↑

由上表可知

(2)对任意 , 都有 成立 ,

先求 ,

令 得 或 ,列表如下:

3 + 0 - 0 +

再求 的最大值, , , ,于是

[例4] 如图,在二次曲线 的图象与 轴所围成的图形中有一个内接矩形,求这个矩形的最大面积。

解:设点B坐标 ,则点C坐标为 ,

矩形ABCD的面积为

令 得

故当 时,有S最大值为

试题答案

1. 解: 解之得 ,

故解析式为

0

1 + 0 -

↑ 极大 ↓

2. 解:

(1) 在 上是增函数 恒成立

(2)易求得,当 时, 恒成立 或

3. 解:设容器底面边长为 ,则另一边长为 ,高为

= 则容器容积为

令 有 , (舍),故当 时, 有最大值, ,此时高为1.2。

答:高为1.2m时,容积最大为 。

高三数学导数的概念与几何意义人教版

【同步教育信息】

一. 本周教学内容

导数的概念与几何意义

1. 导数的概念

设函数 在 及其近旁有定义,用 表示 的改变量,于是对应的函数值改变量为 ,如果极限 存在极限,则称函数 在点 处可导,此极限值叫函数 在点 处的导数,记作 或 称为函数 在 到 之间的平均变化率,函数 在点 处的导数即平均变化率当 时的极限值。

2. 导数的几何意义

函数 在一点 的导数等于函数图形上对应点 的切线斜率,即 ,其中 是过 的切线的倾斜角,过点 的切线方程为

3. 导数的物理意义

函数 在 的导数是函数在该点处平均变化率的极限,即瞬时变化率,若函数 表示运动路程,则 表示在 时刻的瞬时速度。

4. 导函数的概念

如果函数 在开区间 内每一点都可导,就说 在 内可导,这时,对于开区间 内每个确定的值 都对应一个确定的导数 ,这就在 内构成一个新的函数,此函数就称为 在 内的导函数,记作 或 ,即

而当 取定某一数值 时的导数是上述导函数的一个函数值。

导数与导函数概念不同,导数是在一点处的导数 ,导函数是某一区间 内的导数,对

导函数是以 内任一点 为自变量,以 处的导数值为函数值的函数关系,导函数反映的是一般规律,而 等于某一数值时的导数是此规律中的特殊性。

【典型例题】

[例1] 已知函数 在 处存在导数 ,求 。

解:上式

令 ,当 时,

上式

[例2] 已知 ,求导函数

解:

注:利用定义求导数的步骤

(1)求函数增量

(2)求平均变化率

(3)取极限

[例3] 已知曲线C: 及点 ,则过点P可向C引切线条数为( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

解:设切点 则切线 的方程为:

由点 在直线 上,故 或 或

所以过点 向C可引三条切线

试题答案

1. D 2. D 3. 2 4. 0或2 5. 6.

7. 或

8.

9.

10. 或

【模拟试题】

1. 若直线 是曲线 的切线,求常数 的值。

2. 若两曲线 与 都过P(1,2)点,且在这点有公切线,求 、 、 的值。

3. 证明:在两抛物线 , 的交点处它们的切线互相垂直。

【模拟试题】(答题时间:30分钟)

1. 函数 ( )在 的最大值为5,最小值为 ,求 的解析式。

2. 已知函数

(1)若 在 上是增函数,求b的取值范围。

(2)若 在 时取得极值,且 时, 恒成立,求 的取值范围。

3. 用总长14.8m的钢条制做一个长方形容器的框架,如果所制做容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容积最大?并求出它的最大容积?

【模拟试题】

1. 抛物线 在点 处的切线的倾斜角是( )

A. B. C. D.

2. 与直线 平行的曲线 的切线方程是( )

A. B.

C. D. 或

3. 某物体运动规律是 ,则在 时的瞬时速度为0。

4. 已知 ,若 ,则 。

5. 已知 ,满足 , , ,则 , , 。

6. 曲线 在点 处的切线与 轴, 轴的交点分别是 与 。

7. 平行于直线 且与曲线 相切的直线方程是 。

8. 垂直于直线 且与曲线 相切的直线方程是 。

9. 已知A、B是抛物线 上横坐标分别为 , 的两点,求抛物线的平行于割线AB的切线方程 。

10. 若抛物线 的切线与直线 的夹角为 ,求切点坐标 。

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