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设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m×n实矩阵,BT为B的转置矩阵,试证BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r(B)=n._分块矩阵的转置运算

必要性(⇒)设BTAB为正定矩阵,则对于任意的实n维列向量x≠0,都有:xTBTABx>0,即(Bx)TA(Bx)>0.所以:Bx≠0.因此,Bx=0只有零解,故有r(B)=n.充分性(⇐)如果r(B)=n,则线性方程组Bx=0只有零解,从...

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